Je te remercie, parce que ça me force à un peu bosser comme ça x)
(je poste et je complète au fur et à mesure)
Partie B
1. Pour Cv et Cp en fonction de γ, il faut repartir de l'enthalpie H = U + PV.
Pour un gaz parfait, tu as U = U
0 + Cv.T et PV = nRT (loi des gaz parfaits).
Tu remplaces tout ça dans H, puis tu obtiens ΔH = Cv.ΔT + nR.ΔT = Cp.ΔT où Cp = Cv + nR
γ = Cp/Cv donc tu remplaces Cp par Cv + nR, puis tu obtiens les valeurs de Cv et Cp en fonction de γ.
Comme on te demande les capacités molaires, tu divises tout par n.
Pour l'unité de Cv et Cp, comme γ est un rapport, il n'a pas d'unités, donc elles sont de l'unité de R, que tu retrouves grâce à PV = nRT (où P en Pa et V en m^3).
2.a. On te demande les relations entre P et V pour chaque transformation du cycle. Perso, je commence par noter ce qu'on sait pour chaque étape :
A <=> B : transfo isobare (P=cste)
B => C : compression (donc V diminue) adiabatique (Q = 0) réversible => on pourra utiliser la loi de Laplace vu qu'on a les 3 conditions pour (gaz parfait (GP) + adiabatique + réversible)
C => D : combustion (T augmente) isochore (V=cste)
D => E : détente (V augmente) adiabatique réversible => Laplace
E => B : refroidissement isochore
Comme on a un GP, on a toujours PV = nRT.
Laplace pour B à C : P(B) * V(B)^γ = P© * V©^γ
Or V© = V(A) et P(A) = Patm
Laplace pour D à E : P(D) * V(D)^γ = P(E) * V(E)^γ
Or V(E) = V(B), V(D) = V(A)
b. Lors de la phase d'admission, Wreçu = Wp = -intégrale (Pext.dV) = -Pext * (V(B) - V(A)) car transfo isobare donc au final
Wp = Pext*(V(A)-V(B)) < 0 : c'est donc le gaz qui fournit du travail => sur le cycle, c'est un moteur
Lors de la phase d'échappement, de même, on a
Wp = Pext * (V(B) - V(A)) > 0 : c'est bien le piston qui donne du travail au gaz pour le faire sortir => sur le cycle, c'est un récepteur
(si je dis pas de bêtise i_i)
Travail reçu par le piston: c'est le travail donné par le cycle. Comme sur l'ensemble du cycle, ΔU = 0, on a Wcycle = - Qcycle et Q cycle = Q (A=>B) + Q (B=>C) + Q (C=>D) + Q (D=>E) + Q (E=>B) + Q (B=>A)
Or Q (B=>C) = Q (D=>E) = car transfo adiabatique
Et dans mon cours, le prof nous a dit de considérer que lors de l'admission et de l'échappement, on doit considérer que la température est à peu prêt constante, du coup ΔU = CvΔT = 0 = Q + W de B à A ou de A à B. Donc, pour le gaz, W (A=>B) = - Q (A=>B), et pareil de B à A. Or W(A=>B) = - W(B=>A) donc Q (A=>B) + Q (B=>A) = 0
Donc au final
Wcycle = -Q(C=>D) - Q(E=>B).
c. Si on suit le sens des flèches, le circuit "tourne" dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire), donc c'est un moteur.
3. Rendement ρ = grandeur utile / grandeur coûteuse (c'est la formule que j'ai retenu pour toutes les machines thermiques, que ça soit des moteurs ou des récepteurs ^^)
Ici du coup, grandeur utile = travail donné au piston et grandeur coûteuse = chaleur apportée par la combustion donc ρ = - W / Q(C=>D) = ( Q(C=>D) + Q(E=>B) ) / Q(C=>D)
ρ = 1 + Q(E=>B) / Q(C=>D)
Or, C=>D et E=>B sont deux transformations isochores, donc leur travail est nul (puisqu'il n'y a pas de variation de volume). Pour chacun, on écrit Q = ΔU = Cv.ΔT, puis remplace dans l'expression du rendement:
ρ = 1 + (Tb - Te) / (Td - Tc) = 1 - (Te - Tb) / (Td - Tc)
Ensuite, on cherche une relation entre les températures. Pour ça, on va réexploiter Laplace pour B=>C et D=>E : TV^(γ-1) = cste
Spoiler!
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Astuce concernant les formules de Laplace:
Perso, j'ai retenu PV^γ, qui est la plus simple à "dire". Pour retrouver les autres, je me sers de PV = nRT.
Donc Tb = Tc * (Vc/Vb) ^(γ-1) = Tc * (Va/Vb) ^(γ-1) = Tc * α^(1-γ) car α = Vb/Va
D'où Tc = Tb * α^(γ-1)
et Te = Td * (Vd/Ve) ^(γ-1) = Td * (Va/Vb) ^(γ-1) = Td * α^(1-γ)
Et on remplace dans le rendement: ρ = 1 - (Td * α^(1-γ) - Tb ) / (Td - Tb * α^(γ-1) )
On factorise par α^(1-γ) : ρ = 1 - α^(1-γ) * (Td - Tb*α^(γ-1) ) / (Td - Tb * α^(γ-1) )
Et on trouve
ρ = 1 - α^(1-γ)
4. B=> C : on a ΔS = Cv.ln(Tc/Tb) + nR.ln(Vc/Vb)
Or Tc = Tb * α^(γ-1) et Vc/Vb = Va/Vb = 1/α
Comme ici, Cv est la capacité thermique et pas la capacité thermique molaire, Cv = nR/(γ-1)
Donc ΔS = Cv.ln(α^(γ-1) ) - nR.ln(α) = ((γ-1).Cv - nR) ln(α) = 0
Donc on a un segment vertical (Tc > Tb car Vb > Vc puis Laplace).
Même principe pour D=> E
C=>D : transfo isochore donc ΔS = Cv.ln(Td/Tc) : Td > Tc donc droite de pente positive.
Même principe pour E=>B
Ce que ça doit donner
Partie C
1. α = 10 et γ = 1.4 donc ρ = 1 - α^(1-γ) = 0.60
Tb = 77°C = 350 K donc Tc = Tb * α^(γ-1) = 879 K = 606°C (il faut utiliser les températures en K dans les calculs)
(je vais m'arrêter là, désolée x) )
Catalena